est donc bien linéaire. Noter le caractère routinier de ce genre de vérification.
• Injectivité de : soit P ∈ Ker((). Alors (P) = (0,. . . ,0), i.e.
P(a 1 ) = · · · = P(a n+1 ) = 0. Ainsi P possède au moins n + 1 racines distinctes. Comme P est de degré au plus n, P est le polynôme nul. On a donc
Ker(() = {0} donc est injective.
• est un isomorphisme : les espaces de départ et d’arrivée ont la même
dimension : dim(K n [X]) = dim(K n+1 ) = n + 1 . On en déduit que est
un isomorphisme.
2. Le fait que la famille (L 1 ,. . . ,L n+1 ) soit une base de K n [X] découle directement
du cours.
La famille (L 1 ,. . . ,L n+1 ) est l’image de la base (e 1 ,. . . ,e n+1 ) de K n+1 par
l’isomorphisme −1 : c’est donc une base de K n [X] car l’image d’une base
par un isomorphisme est une base.
Fixons k ∈ {1,. . . ,n + 1} et cherchons à déterminer explicitement le polynôme L k .
Nous devons avoir (L k ) = e k , autrement dit :
∀ j ∈ {1,. . . ,n + 1}, L k (a j ) =
0 si j = / k
1 si j = k
Nous cherchons donc un polynôme qui s’annule en tous les a j avec j = / k, mais pas
en a k . Il est naturel de considérer le polynôme
P k =
n
j=0
j /
= k
(X − a j ).
Nous parviendrons à retrouver le polynôme L k à partir de celui-ci.
Soit k ∈ {1,. . . ,n + 1} . Par définition, le polynôme L k vérifie (L k ) = e k
et donc
∀ j ∈ {1,. . . ,n + 1}, L k (a j ) =
0 si j = / k
1 sij = k
Posons
P k =
n
j=0
j /
= k
(X − a j ).
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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Chapitre 15 • Polynômes
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