D’après la question précédente, nous avons n (B 0 ) = 0 et, pour k 1,
n (B k ) = B k−1 . On en déduit que la matrice de l’endomorphisme n dans
la base (B 0 ,. . . ,B n ) est
0 1
0
0
. . .
. . . 1
0
0
∈ M n+1 (K).
On voit que cette base est particulièrement bien adaptée à la description de n !
D’une manière générale, il ne faut jamais écrire la matrice d’un endomorphisme
dans une base sans avoir un minimum réfléchi auparavant à la base en question.
Cependant, en première année, on vous donnera le plus souvent la base la mieux
adaptée à l’endomorphisme.
En seconde année vous apprendrez à déterminer vous-même une telle base : ce
sera le chapitre Réduction des endomorphismes.
Exercice 15.6 : Polynômes interpolateurs de Lagrange
Soit n un entier naturel. Soient a 1 ,. . . ,a n+1 des éléments deux à deux distincts de K.
1. Pour P ∈ K n [X] on pose (P) = (P(a 1 ),. . . ,P(a n+1 )). Montrer que est
un isomorphisme d’espaces vectoriels de K n [X] dans K n+1 .
2. On note (e 1 ,. . . ,e n+1 ) la base canonique de K n+1 . Pour k ∈ {1,. . . ,n + 1} on
pose L k = −1 (e k ). Montrer que (L 1 ,. . . ,L n+1 ) est une base de K n+1 [X] et
donner l’expression de L k en fonction des a j .
3. Plus précisément, étant donné P ∈ K n [X] , déterminer les coordonnées de P
dans la base (L 1 ,. . . ,L n+1 ).
1. Pour montrer que est un isomorphisme, nous allons découper le raisonnement
en plusieurs étapes. Il est indispensable de bien vérifier tout d’abord que est une
application linéaire. Même si c’est un résultat immédiat, il ne faut pas oublier de le
mentionner et le démontrer en quelques lignes.
Nous montrerons ensuite que est un isomorphisme de façon classique, en montrant qu’il est injectif et en utilisant un argument de dimension.
• Linéarité de : soient (P,Q) ∈ K n [X] et (λ,µ) ∈ K 2 . Alors :
(λ P + µ Q) = ((λ P + µ Q)(a 1 ),. . . ,(λ P + µ Q)(a n+1 ))
= (λ P(a 1 ) + µ Q(a 1 ),. . . ,λ P(a n+1 ) + µ Q(a n+1 ))
= λ (P(a 1 ),. . . ,P(a n+1 )) + µ (Q(a 1 ),. . . ,Q(a n+1 ))
= λ (P) + µ (Q).
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Partie 3 • Algèbre
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n (B k ) = B k−1 . On en déduit que la matrice de l’endomorphisme n dans
la base (B 0 ,. . . ,B n ) est
0 1
0
0
. . .
. . . 1
0
0
∈ M n+1 (K).
On voit que cette base est particulièrement bien adaptée à la description de n !
D’une manière générale, il ne faut jamais écrire la matrice d’un endomorphisme
dans une base sans avoir un minimum réfléchi auparavant à la base en question.
Cependant, en première année, on vous donnera le plus souvent la base la mieux
adaptée à l’endomorphisme.
En seconde année vous apprendrez à déterminer vous-même une telle base : ce
sera le chapitre Réduction des endomorphismes.
Exercice 15.6 : Polynômes interpolateurs de Lagrange
Soit n un entier naturel. Soient a 1 ,. . . ,a n+1 des éléments deux à deux distincts de K.
1. Pour P ∈ K n [X] on pose (P) = (P(a 1 ),. . . ,P(a n+1 )). Montrer que est
un isomorphisme d’espaces vectoriels de K n [X] dans K n+1 .
2. On note (e 1 ,. . . ,e n+1 ) la base canonique de K n+1 . Pour k ∈ {1,. . . ,n + 1} on
pose L k = −1 (e k ). Montrer que (L 1 ,. . . ,L n+1 ) est une base de K n+1 [X] et
donner l’expression de L k en fonction des a j .
3. Plus précisément, étant donné P ∈ K n [X] , déterminer les coordonnées de P
dans la base (L 1 ,. . . ,L n+1 ).
1. Pour montrer que est un isomorphisme, nous allons découper le raisonnement
en plusieurs étapes. Il est indispensable de bien vérifier tout d’abord que est une
application linéaire. Même si c’est un résultat immédiat, il ne faut pas oublier de le
mentionner et le démontrer en quelques lignes.
Nous montrerons ensuite que est un isomorphisme de façon classique, en montrant qu’il est injectif et en utilisant un argument de dimension.
• Linéarité de : soient (P,Q) ∈ K n [X] et (λ,µ) ∈ K 2 . Alors :
(λ P + µ Q) = ((λ P + µ Q)(a 1 ),. . . ,(λ P + µ Q)(a n+1 ))
= (λ P(a 1 ) + µ Q(a 1 ),. . . ,λ P(a n+1 ) + µ Q(a n+1 ))
= λ (P(a 1 ),. . . ,P(a n+1 )) + µ (Q(a 1 ),. . . ,Q(a n+1 ))
= λ (P) + µ (Q).
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