Supposons, par l’absurde, que la famille (λ 0 ,. . . ,λ n ) ne soit pas nulle.
Notons
j = max{i, λ i = / 0}.
Nous avons donc
j
i=0
λ i B i = 0.
D’après la question précédente, quel que soit i ∈ {0,. . . , j − 1}, nous avons
j
n (B i ) = 0.
Nous avons également
j
n (B j ) = 1.
En appliquant l’endomorphisme
j
n à la relation dont nous disposons, nous
trouvons donc
λ j =
j
n
j
i=0
λ i B i
=
j
n (0) = 0.
On en déduit que λ j = 0, ce qui est absurde.
Nous venons donc de prouver que la famille (λ 0 ,. . . ,λ n ) est nulle. On en
déduit que la famille (B 0 ,. . . ,B n ) est libre. Puisque cette famille est composée de n + 1 vecteurs et que dim(K n [X]) = n + 1, on en déduit finalement que la famille (B 0 ,. . . ,B n ) est une base de K n [X].
Nous aurions également pu rédiger le raisonnement précédent à l’aide d’une
récurrence descendante plutôt que de faire intervenir l’indice j. En effet, en appliquant n
n à la relation, on montre que λ n = 0 . On obtient donc une relation qui
possède un terme de moins et l’on recommence.
Une autre possibilité consiste à utiliser l’exercice précédent. En effet, la famille
(B 0 ,. . . ,B n ) est échelonnée en degré.
Il nous reste, à présent, à calculer la matrice de l’endomorphisme n dans la base
(B 0 ,. . . ,B n ). Il suffit d’appliquer le résultat de la question précédente.
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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Chapitre 15 • Polynômes
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