



0 1 1 1
0 0 2 3
0 0 0 3
0 0 0 0




2. Le calcul de n (B k ) peut se faire explicitement grâce à la formule définissant B k .
Il nous faudra traiter à part les cas de k = 0 et k = 1.
On a n (B 0 ) = 0 et n (B 1 ) = n (X) = 1 = B 0 .
Si k 2 :
n (B k ) =
1
k!
k−1
l=0
(X + 1 − l) −
k−1
l=0
(X − l)
=
1
k!
k−2
l=−1
(X − l) −
k−1
l=0
(X − l)
=
1
k!
k−2
l=0
(X − l)
(X + 1) − (X − k + 1)
=
1
(k − 1)!
k−2
l=0
(X − l)
= B k−1
.
En résumé : n (B 0 ) = 0 et, pour k 1, n (B k ) = B k−1 .
3. La famille (B 0 ,. . . ,B n ) est composée de n + 1 vecteurs et l’espace vectoriel
K n [X] est de dimension n + 1. Pour montrer que la famille (B 0 ,. . . ,B n ) est une
base de K n [X], il nous suffit donc de montrer qu’elle est libre. Soit
(λ 0 ,. . . ,λ n ) ∈ R n+1 tel que
n
i=0
λ i B i = 0.
Nous voulons montrer que, quel que soit i, on a λ i = 0. Pour cela, nous allons tâcher
de construire de nouvelles relations à partir de celle que nous avons déjà. La relation
que nous avons prouvée précédemment entre n et B k nous permettra de faire cela.
Montrons, tout d’abord, que la famille (B 0 ,. . . ,B n ) est libre. Soit
(λ 0 ,. . . ,λ n ) ∈ R n+1 tel que
n
i=0
λ i B i = 0.
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Partie 3 • Algèbre
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