De plus, l’espace vectoriel de départ et celui d’arrivée sont égaux : n est
donc un endomorphisme de l’espace vectoriel K n [X].
Nous allons, maintenant, calculer le noyau et l’image de l’endomorphisme n . Il
suffit de revenir aux définitions de ces espaces.
• Noyau de ∆ n : soit P ∈ Ker(( n ). Alors P(X + 1) = P(X). Le polynôme P − P(0) est donc nul en tout point entier, donc est identiquement
nul : ainsi P = P(0), i.e. P est constant. Réciproquement, si P est
constant, n (P) = 0. Ainsi : Ker(( n ) = K 0 [X].
• Image de ∆ n : P(X + 1) et P(X) ont le même coefficient dominant
donc P(X + 1) − P(X) est de degré strictement inférieur à celui de P
puisque les termes de plus haut degré se simplifient. Or deg(P) n donc
deg(( n (P)) n − 1 . Ainsi, Im(( n ) ⊂ K n−1 [X].
De plus, d’après le théorème du rang :
dim(Ker(( n )) + dim(Im(( n )) = dim(K n [X]).
On sait que dim(K n [X]) = n + 1 et on a vu que Ker(( n ) = K 0 [X] et est
donc de dimension 1 : ainsi, dim(Im(( n )) = n qui est aussi la dimension
de K n−1 [X].
En résumé : Im(( n ) ⊂ K n−1 [X] et dim(Im(( n )) = dim(K n−1 [X]) donc
Im(( n ) = K n−1 [X].
Calculons, à présent, la matrice de n dans la base canonique de K n [X], c’est-àdire dans la base (1,X,. . . ,X n ) .
• Avec P = X j on trouve n (P) = (X + 1)
j
− X
j
=
j−1
i=0
j
i
X
i . On en
déduit que la matrice de n dans la base canonique de K n [X] est








0 . . .
j
i
. . .
0
. . .
0








∈ M n+1 (K)
Il est toujours bon de traiter explicitement un exemple. Pour n = 3, nous obtenons
la matrice
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Chapitre 15 • Polynômes
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