D’après la proposition H k , cette famille est libre. On en déduit que
λ 1 = · · · = λ k+1 = 0.
Revenons à la relation de départ. Elle s’écrit, à présent,
λ 0 Q 0 = 0.
Puisque le polynôme Q 0 est de degré 0, il n’est pas nul et nous avons donc
λ 0 = 0. Par conséquent, la famille (Q 0 ,. . . ,Q k+1 ) est libre et la proposition H k+1 est vraie.
• Finalement, nous avons montré que, quel que soit k ∈ N, la proposition
H k est vraie.
En particulier, la proposition H n est vraie. La famille (P 0 ,. . . ,P n ) de
l’énoncé est donc libre. Puisqu’elle est formée de (n + 1) vecteurs et que
dim(K n [X]) = n + 1, c’est une base de K n [X].
Exercice 15.5 : Étude d’un endomorphisme de K n [X]
Soit n ∈ N ∗ . Pour P ∈ K n [X] on pose n (P) = P(X + 1) − P(X).
1. Montrer que n est un endomorphisme de K n [X]. Déterminer son noyau et
son image. Quelle est sa matrice dans la base canonique ?
On pose B 0 (X) = 1 et, pour 1 k n :
B k (X) =
1
k!
k−1
l=0
(X − l) =
1
k!
X (X − 1) · · · (X − k + 1).
2. Déterminer n (B k ).
3. Montrer que (B 0 ,. . . ,B n ) est une base de K n [X]. Quelle est la matrice de n
dans cette base ?
1. Dire que n est un endomorphisme de K n [X] recouvre deux résultats : l’application n , définie sur K n [X], est à valeurs dans K n [X] et cette application est linéaire.
• ∆ n est à valeurs dans K n [X] : (P) = P(X + 1) − P(X) est bien un
polynôme. De plus, son degré est inférieur ou égal à max(deg(P(X + 1)),
deg(P(X))) donc inférieur ou égal à n.
• Linéarité de ∆ n : soient (P,Q) ∈ (K n [X]) 2 et (λ,µ) ∈ K 2 . On a alors
successivement :
n (λP + µQ) = λP(X + 1) + µQ(X + 1) − (λP(X) + µQ(X))
= λ(P(X + 1) − P(X)) + µ(Q(X + 1) − Q(X))
= λ n (P) + µ n (Q)
ce qui montre que n est linéaire.
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Partie 3 • Algèbre
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