Nous voulons montrer que λ 0 = · · · = λ n = 0. Pour cela, nous allons chercher à
obtenir d’autres relations à partir de (R). En la dérivant, on obtient
n
i=1
λ i P
i = 0.
En effet, puisque le polynôme P 0 est de degré 0, nous avons P
0 = 0. Nous obtenons
donc une relation entre polynômes de degré 0,. . . ,n − 1. Cela nous suggère de procéder par récurrence.
Montrons, par récurrence, que, quel que soit k ∈ N, la proposition
H k : « toute famille de polynômes (Q 0 ,. . . ,Q k )
vérifiant la condition ∀i ∈ {0,. . . ,k}, deg(Q i ) = i
est libre »
est vraie.
• Soit Q 0 un polynôme de degré 0. C’est un polynôme constant non nul. La
famille (Q 0 ) est donc libre et la proposition H 0 est vraie.
• Soit k ∈ N tel que la proposition H k est vraie. Soit (Q 0 ,. . . ,Q k+1 ) une
famille de polynômes vérifiant la condition
∀i ∈ {0,. . . ,k + 1}, deg(Q i ) = i.
Soient λ 0 ,. . . ,λ k+1 ∈ K tels que
k+1
i=0
λ i Q i = 0.
En dérivant cette relation, on obtient
k+1
i=1
λ i Q
i = 0,
car Q
0 = 0 , puisque le polynôme Q 0 est de degré 0. Pour i ∈ {0,. . . ,k} ,
posons R i = Q
i+1 . Puisque dériver un polynôme non constant fait baisser
son degré d’exactement une unité, la famille (R 0 ,. . . ,R k ) vérifie la propriété
∀i ∈ {0,. . . ,k}, deg(R i ) = i.
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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Chapitre 15 • Polynômes
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