Finalement, nous avons
1 =
1
x
+
1
y
+
1
z
=
yz + zx + x y
x yz
=
36
x yz
.
On en déduit que
x yz = 36.
Par conséquent, nous avons
(X − x)(X − y)(X − z) = X
3
− 11X
2
+ 36X − 36.
Calculons les racines de ce polynôme. Le nombre réel 2 est racine évidente.
En effectuant une division euclidienne, il vient
X
3
− 11X
2
+ 36X − 36 = (X − 2)(X
2
− 9X + 18).
Or
X
2
− 9X + 18 = (X − 3)(X − 6),
donc les racines de X 3 − 11X 2 + 36X − 36 sont 2, 3 et 6. On en déduit
que le triplet (x,y,z) est égal au triplet (2,3,6) ou à l’un de ceux qui s’en
déduisent par permutation.
Réciproquement, on vérifie que les triplets précédents sont solutions du système.
Exercice 15.4 : Familles de polynômes échelonnée en degré
Soit (P 0 ,. . . ,P n ) une famille de polynômes tels que, pour tout k ∈ {0,. . . ,n}, on ait
deg(P k ) = k.
Montrer que (P 0 ,. . . ,P n ) est une base de K n [X].
Comme d’habitude, pour montrer qu’une famille est une base d’un espace vectoriel
de dimension finie, nous allons montrer qu’elle est libre puis qu’elle a le bon
nombre de vecteurs. Soient λ 0 ,. . . ,λ n ∈ K tels que
(R)
n
i=0
λ i P i = 0.
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Partie 3 • Algèbre
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