En spécialisant en a, b et c, nous obtenons
a 7 = −2a 2 + 2a − 1
b 7 = −2b 2 + 2b − 1
c 7 = −2c 2 + 2c − 1
puis, en additionnant :
a 7 + b 7 + c 7 = −2(a 2 + b 2 + c 2 ) + 2(a + b + c) − 3
= −7.
Pour calculer la dernière expression demandée, il suffit de réduire au même dénominateur.
Finalement, nous avons
1
a
+
1
b
+
1
c
=
bc + ca + ab
abc
=
−1
−1
= 1.
2. Nous allons, ici, suivre le cheminement inverse de celui de la question précédente. Les nombres complexes x, y et z sont racines d’un polynôme de degré 3. Si
nous parvenons à le déterminer explicitement, nous pourrons alors obtenir x, y et z
comme ses racines. Nous allons donc chercher à exprimer les coefficients de ce
polynôme, qui sont des fonctions symétriques des racines x,y,z, en fonction des
fonctions symétriques x + y + z, x 2 + y 2 + z 2 et x −1 + y −1 + z −1 , dont nous
connaissons les valeurs.
Procédons par analyse et synthèse. Soit (x,y,z) ∈ (C ∗ ) 3 une solution du
système. Considérons le polynôme
(X − x)(X − y)(X − z)
= X 3 − (x + y + z)X 2 + (x y + yz + zx)X − x yz
et cherchons à calculer ses coefficients. Par hypothèse, nous avons
x + y + z = 11.
Nous avons également
x y + yz + zx =
1
2
(x + y + z)
2
− (x
2
+ y
2
+ z
2
)
=
1
2
(11
2
− 49)
= 36
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
351
Chapitre 15 • Polynômes
9782100547678-Fresl-C15.qxd 5/07/10 9:03 Page 351
a 7 = −2a 2 + 2a − 1
b 7 = −2b 2 + 2b − 1
c 7 = −2c 2 + 2c − 1
puis, en additionnant :
a 7 + b 7 + c 7 = −2(a 2 + b 2 + c 2 ) + 2(a + b + c) − 3
= −7.
Pour calculer la dernière expression demandée, il suffit de réduire au même dénominateur.
Finalement, nous avons
1
a
+
1
b
+
1
c
=
bc + ca + ab
abc
=
−1
−1
= 1.
2. Nous allons, ici, suivre le cheminement inverse de celui de la question précédente. Les nombres complexes x, y et z sont racines d’un polynôme de degré 3. Si
nous parvenons à le déterminer explicitement, nous pourrons alors obtenir x, y et z
comme ses racines. Nous allons donc chercher à exprimer les coefficients de ce
polynôme, qui sont des fonctions symétriques des racines x,y,z, en fonction des
fonctions symétriques x + y + z, x 2 + y 2 + z 2 et x −1 + y −1 + z −1 , dont nous
connaissons les valeurs.
Procédons par analyse et synthèse. Soit (x,y,z) ∈ (C ∗ ) 3 une solution du
système. Considérons le polynôme
(X − x)(X − y)(X − z)
= X 3 − (x + y + z)X 2 + (x y + yz + zx)X − x yz
et cherchons à calculer ses coefficients. Par hypothèse, nous avons
x + y + z = 11.
Nous avons également
x y + yz + zx =
1
2
(x + y + z)
2
− (x
2
+ y
2
+ z
2
)
=
1
2
(11
2
− 49)
= 36
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
351
Chapitre 15 • Polynômes
9782100547678-Fresl-C15.qxd 5/07/10 9:03 Page 351