Ces premières relations vont nous permettre d’en obtenir d’autres en les manipulant. Pour calculer la somme des carrés des racines, nous allons élever la première
relation au carré.
En élevant au carré la première relation il vient
0 = a
2
+ b
2
+ c
2
+ 2ab + 2bc + 2ca,
d’où
a
2
+ b
2
+ c
2
= 2.
Remarquons que nous connaissons également d’autres relations du fait que les
nombres complexes a, b et c sont racines du polynôme X 3 − X + 1.
Puisque les nombres complexes a, b et c sont racines du polynôme
X 3 − X + 1, nous avons
a 3 = a − 1,
b 3 = b − 1,
c 3 = c − 1
En additionnant ces trois égalités, on obtient
a
3
+ b
3
+ c
3
= a + b + c − 3 = −3.
Pour calculer la somme des puissances septièmes, il va falloir faire preuve d’un peu
plus de réflexion. Il s’agit néanmoins d’un procédé classique. Commençons par
effectuer la division euclidienne du polynôme X 7 par le polynôme X 3 − X + 1.
Nous obtenons
X
7
= (X
3
− X + 1)(X
4
+ X
2
− X + 1) − 2X
2
+ 2X − 1.
En spécialisant en a, b et c il vient que seule la partie correspondant au reste peut
donner une contribution non nulle. La somme des puissances septièmes des racines
s’exprime donc en fonction des sommes des puissances inférieures à deux des
racines. Bien entendu, nous pourrions mettre en œuvre le même raisonnement pour
tout polynôme et pas seulement pour X 7 .
Effectuons la division euclidienne du polynôme X 7 par le polynôme
X 3 − X + 1 :
X
7
= (X
3
− X + 1)(X
4
+ X
2
− X + 1) − 2X
2
+ 2X − 1.
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Partie 3 • Algèbre
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