1. Il y a deux manières de voir la notion de multiplicité d’une racine ; nous les rappelons brièvement.
Si a est une racine de P, son ordre de multiplicité est le plus grand entier naturel
non nul r tel que (X − a) r divise P(X) (ainsi, (X − a) r+1 ne divise pas P(X)). Si
r = 1 la racine est dite simple, si r 2 la racine est dite multiple.
Les propriétés suivantes sont équivalentes (caractérisation différentielle de la multiplicité) :
i) a est racine de P d’ordre de multiplicité r ;
ii) P (k) (a) = 0 pour k = 0,. . . ,r − 1 et P (r) (a) = / 0.
En particulier, a est une racine multiple de P si, et seulement si, P(a) = P (a) = 0 .
D’une manière générale, la définition de la multiplicité n’est utilisable que si l’on
connaît explicitement la racine : il n’y a alors qu’à factoriser X − a autant que possible en effectuant des divisions euclidiennes successives.
La caractérisation différentielle permet d’étudier la multiplicité des racines de P sans
avoir à connaître explicitement ces racines. C’est donc celle-là que nous utiliserons ici.
Soit P = X 3 − X + 1.
Si un nombre complexe z est racine multiple de P alors P(z) = P (z) = 0,
soit z 3 − z + 1 = 0 et 3z 2 − 1 = 0 .
En multipliant cette dernière relation par z on obtient 3z 3 = z ; or la première donne z 3 = z − 1, on en déduit donc z = 3/2. Enfin, en remplaçant
dans 3z 2 = 1 il vient 4 = 27, ce qui est absurde.
Ainsi, les racines complexes de P sont simples.
On note a,b,c les racines du polynôme X 3 − X + 1. Cela impose au polynôme de
se factoriser sous la forme
X
3
− X + 1 = (X − a)(X − b)(X − c).
En développant et identifiant les coefficients, nous obtenons des équations vérifiées
par les racines.
Puisque a, b et c sont les racines du polynôme X 3 − X + 1, nous avons
X
3
− X + 1 = (X − a)(X − b)(X − c).
En développant et identifiant les coefficients, il vient
a + b + c =
0
ab + bc + ca = −1
abc = −1
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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Chapitre 15 • Polynômes
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Si a est une racine de P, son ordre de multiplicité est le plus grand entier naturel
non nul r tel que (X − a) r divise P(X) (ainsi, (X − a) r+1 ne divise pas P(X)). Si
r = 1 la racine est dite simple, si r 2 la racine est dite multiple.
Les propriétés suivantes sont équivalentes (caractérisation différentielle de la multiplicité) :
i) a est racine de P d’ordre de multiplicité r ;
ii) P (k) (a) = 0 pour k = 0,. . . ,r − 1 et P (r) (a) = / 0.
En particulier, a est une racine multiple de P si, et seulement si, P(a) = P (a) = 0 .
D’une manière générale, la définition de la multiplicité n’est utilisable que si l’on
connaît explicitement la racine : il n’y a alors qu’à factoriser X − a autant que possible en effectuant des divisions euclidiennes successives.
La caractérisation différentielle permet d’étudier la multiplicité des racines de P sans
avoir à connaître explicitement ces racines. C’est donc celle-là que nous utiliserons ici.
Soit P = X 3 − X + 1.
Si un nombre complexe z est racine multiple de P alors P(z) = P (z) = 0,
soit z 3 − z + 1 = 0 et 3z 2 − 1 = 0 .
En multipliant cette dernière relation par z on obtient 3z 3 = z ; or la première donne z 3 = z − 1, on en déduit donc z = 3/2. Enfin, en remplaçant
dans 3z 2 = 1 il vient 4 = 27, ce qui est absurde.
Ainsi, les racines complexes de P sont simples.
On note a,b,c les racines du polynôme X 3 − X + 1. Cela impose au polynôme de
se factoriser sous la forme
X
3
− X + 1 = (X − a)(X − b)(X − c).
En développant et identifiant les coefficients, nous obtenons des équations vérifiées
par les racines.
Puisque a, b et c sont les racines du polynôme X 3 − X + 1, nous avons
X
3
− X + 1 = (X − a)(X − b)(X − c).
En développant et identifiant les coefficients, il vient
a + b + c =
0
ab + bc + ca = −1
abc = −1
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