Le polynôme (x 2 − 1) n est un polynôme de degré 2n. Il existe donc
a 0 ,. . . ,a 2n ∈ R tels que l’on ait
(x
2
− 1)
n
=
2n
k=0
a k x
k
.
On en déduit que
d n
dx n
(x
2
− 1)
n
=
n
k=0
(n + k)!
k!
a n+k x
k
.
En x = 0, seul le terme d’indice k = 0 de la somme n’est pas nul (il vaut
n!a n ). Finalement, nous avons
L n (0) =
a n
2 n .
Distinguons, à présent, deux cas.
• Si n est impair, le terme de degré n de (x 2 − 1) n est nul et, ainsi,
L n (0) = 0.
• Si n est pair, le coefficient du terme de degré n de
(x
2
− 1)
n
=
n
k=0
n
k
x
2k
(−1)
k
est
a n =
n
n/2
(−1)
n/2
.
On en déduit que
L n (0) = (−1)
n/2
n
n/2
2 n .
Exercice 15.3 : Relations coefficients-racines
Les deux questions sont indépendantes.
1. Montrer que les racines complexes de X 3 − X + 1 sont simples. On les note
a, b et c.
Calculer
a + b + c,
a 2 + b 2 + c 2 ,
a 3 + b 3 + c 3 ,
a 7 + b 7 + c 7
et
a −1 + b −1 + c −1 .
2. Résoudre le système suivant, d’inconnue (x,y,z) ∈ (C ∗ ) 3 :
x + y + z = 11
x 2 + y 2 + z 2 = 49
x −1 + y −1 + z −1 = 1
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Partie 3 • Algèbre
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