2. Nous ne connaissons aucune formule pour calculer directement les dérivées du
polynôme (x 2 − 1) n . Cependant, nous pouvons calculer les dérivées des polynômes
(x − 1) n et (x + 1) n . Pour k n ∈ N, nous avons
d k
dx k
(x − 1)
n
=
n!
(n − k)!
(x − 1)
n−k
et
d k
dx k
(x + 1)
n
=
n!
(n − k)!
(x + 1)
n−k
.
Pour calculer les dérivées du polynôme (x 2 − 1) n , il ne nous reste plus qu’à appliquer la formule de Leibniz.
D’après la formule de Leibniz :
d n
dx n
(x
2
− 1)
n
=
n
k=0
n
k
d k
dx k
(x − 1)
n
d n−k
dx n−k
(x + 1)
n
=
n
k=0
n
k
n!
(n − k)!
(x − 1)
n−k n!
k!
(x + 1)
k
=
n
k=0
n!
n
k
2
(x − 1)
n−k
(x + 1)
k
.
Tous les termes de la somme sont nuls en 1 sauf celui d’indice k = n qui
vaut n!2 n ; on a donc L n (1) = 1.
De même, le seul terme non nul en −1 de la somme est celui d’indice k = 0
qui vaut n!(−2) n ; on a donc L n (−1) = (−1) n .
3. La première façon de calculer L n (0) qui nous vient à l’esprit consiste à utiliser
la même méthode que précédemment.
Pour x = 0 la formule précédente donne
L n (0) =
1
2 n
n
k=0
n
k
2
(−1)
n−k
.
Cette formule ne semble pas aisée à simplifier. Nous allons donc tâcher de trouver
une autre expression de L n (0). À cet effet, remarquons que L n (0) est le terme
constant de L n . Puisque L n est une dérivée n-ième, le terme L n (0) provient donc de
la dérivation du terme de degré n de (x 2 − 1) n .
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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Chapitre 15 • Polynômes
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