Il est bon de vérifier que cette dernière expression redonne bien T
n (0) = 0 ,
lorsque n est pair. C’est bien le cas, puisque le terme d’indice k = n/2 du produit
vaut
cos



n
2
π
n


 = cos
π
2
= 0.
Exercice 15.2 : Polynômes de Legendre
Pour n ∈ N et x ∈ R on pose :
L n (x) =
1
2 n n!
d n
dx n
(x
2
− 1)
n
.
1. Déterminer le degré et le coefficient dominant de L n .
2. Calculer L n (1) et L n (−1).
3. Calculer de deux manières différentes L n (0).
1. Comme précédemment, il est utile de calculer les premiers termes de la suite de
polynômes considérée. Nous avons
• L 0 (x) = 1 ;
• L 1 (x) = x ;
• L 2 (x) =
3
2
x 2 −
1
2
;
• L 3 (x) =
5
2
x 3 −
3
2
x .
Sur ces exemples, il semble que, quel que soit n ∈ N, le polynôme L n (x) est de
degré n. Cela découle d’ailleurs facilement des propriétés de la dérivation.
Soit n ∈ N. (x 2 − 1) n est de degré 2n donc sa dérivée n-ième est de degré
2n − n = n . Ainsi :
∀n ∈ N, deg(L n ) = n.
Le coefficient dominant de L n est le coefficient de son terme de degré n qu’on peut
déterminer à partir du coefficient dominant de (x 2 − 1) n .
Soit n ∈ N.
Le terme de plus haut degré de (x 2 − 1) n est x 2n . Sa dérivée n-ième est
(2n)!
n!
x
n d’où le coefficient dominant de L n :
(2n)!
2 n (n!) 2 =
2n
n
2 n .
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Partie 3 • Algèbre
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