Ainsi, nous avons déterminé n − 1 racines distinctes de T
n . Or T
n est de
degré n − 1, ce qui montre qu’il n’a pas d’autre racine et qu’elles sont toutes
simples.
Comme son coefficient dominant est n2 n−1 on a donc :
T
n = n2
n−1
n−1
k=1
X − cos
kπ
n
.
Il nous reste à calculer T
n (0). Nous pouvons le faire de deux manières différentes,
soit en utilisant la factorisation, soit en utilisant l’expression de T
n (cos(θ)) .
Nous avons vu que :
∀θ ∈ R, sin(θ)T
n (cos(θ)) = n sin(nθ).
En écrivant cette égalité pour θ = π/2, on obtient
T
n (0) = n sin
n
π
2
.
Distinguons deux cas.
• Si n est pair, nous avons nπ/2 = 0 mod π et donc
T
n (0) = 0.
• Si n est impair, nous pouvons l’écrire sous la forme n = 2 p + 1, avec
p ∈ N. Nous avons alors
T
2 p+1 (0) = (2 p + 1) sin
π
2
+ pπ
= (2 p + 1)(−1) p sin
π
2
= (2 p + 1)(−1) p .
Nous pouvons également calculer T
n (0) en utilisant la factorisation du polynôme T
n trouvée précédemment. Nous obtenons
T
n (0) = n2
n−1
n−1
k=1
−cos
kπ
n
= n2
n−1
(−1)
n−1
n−1
k=1
cos
kπ
n
.
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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Chapitre 15 • Polynômes
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