Cette dernière relation peut également s’écrire :
∀θ ∈ R,
(1 − cos 2 (θ))T
n (cos(θ)) − cos(θ)T
n (cos(θ)) + n 2 T n (cos(θ)) = 0.
Or, quand θ parcourt R, cos(θ) parcourt [−1,1], d’où :
∀x ∈ [−1,1],(1 − x
2
)T
n (x) − xT
n (x) + n
2 T n (x) = 0.
Ainsi, le polynôme (1 − X 2 )T
n (X) − X T
n (X) + n 2 T n (X) possède une
infinité de racines ; il est donc nul, soit :
∀x ∈ R,(1 − x
2
)T
n (x) − xT
n (x) + n
2 T n (x) = 0.
Ne pas conclure trop rapidement : la relation en cos(θ) obtenue ne permet d’en
déduire qu’une équation différentielle vérifiée sur [−1,1], il faut un argument supplémentaire (un polynôme qui a une infinité de racines est nul) pour conclure.
5. Cette question est semblable à la troisième : la formule reliant T
n et les fonctions
trigonométriques obtenue à la question précédente permet de déterminer facilement
des racines de T
n ; il restera alors à vérifier qu’il n’y en a pas d’autres.
Nous avons vu que :
∀θ ∈ R, sin(θ)T
n (cos(θ)) = n sin(nθ).
En particulier, pour θ =
kπ
n
avec k ∈ Z il vient :
sin(kπ/n)T
n (cos(kπ/n)) = 0
car sin(kπ) = 0 .
Pour 1 k n − 1 posons x k = cos(kπ/n) . On a alors sin(kπ/n) = / 0
d’où :
T
n (x k ) = 0.
Enfin, la fonction cosinus étant strictement décroissante sur [0,π] on a :
x 1 > · · · > x n−1
ce qui montre que les réels x k , k allant de 1 à n − 1, sont deux à deux distincts.
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Partie 3 • Algèbre
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