Plus précisément, on voit qu’en remplaçant k par k + 2n le cosinus prend la même
valeur. Ceci permet donc déjà de se restreindre à k ∈ {0,. . . ,2n − 1}.
De même, en chageant k en 2n − k − 1, le cosinus ne change pas (formule de trigonométrie usuelle). On peut donc même se restreindre à k ∈ {0,. . . ,n − 1} .
Pour de telles valeurs de k, les valeurs du cosinus sont bien distinctes: en effet, en
notant a k =
(2k + 1)π
2n
on a:
0 < a 0 < · · · < a n−1 =
(2n − 1)π
2n
< π
d’où, la fonction cosinus étant strictement décroissante sur [0,π] :
cos(a n−1 ) < · · · < cos(a k ) < · · · < cos(a 0 ).
Ainsi, les réels cos
(2k + 1)π
2n
, avec k = 0,. . . ,n − 1, sont tous des racines de T n
et sont deux à deux distincts, ce qui fournit n racines distinctes de T n .
Comme T n est de degré n, ce sont ses seules racines et elles sont toutes simples.
4. La relation de la deuxième question étant vraie pour tout réel θ nous pouvons la
dériver ; cependant, il faut faire attention au fait que le membre de gauche est une
fonction composée.
Fixons n ∈ N.
On a, pour tout réel θ :
T n (cos(θ)) = cos(nθ).
En dérivant cette relation par rapport à θ il vient :
∀θ ∈ R, sin(θ)T
n (cos(θ)) = n sin(nθ)
puis en dérivant une seconde fois :
∀θ ∈ R,−sin
2
(θ)T
n (cos(θ)) + cos(θ)T
n (cos(θ)) = n
2 cos(nθ).
Notons que le second membre de cette dernière relation n’est autre que
n 2 T n (cos(θ)) et que sin
2
(θ) = 1 − cos 2 (θ). On peut donc écrire cette relation en
fonction de T n , T
n , T
n et cos(θ) .
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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Chapitre 15 • Polynômes
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