cos(nθ) = cos((n + 1)θ − θ)
= cos((n + 1)θ) cos(θ) + sin((n + 1)θ) sin(θ)
d’où
cos((n + 2)θ) + cos(nθ) = 2 cos((n + 1)θ) cos(θ)
L’hypothèse de récurrence donne alors :
cos((n + 2)θ) + T n (cos(θ)) = 2T n+1 (cos(θ)) cos(θ)
ou encore :
cos((n + 2)θ) = 2 cos(θ)T n+1 (cos(θ)) − T n (cos(θ))
= T n+2 (cos(θ))
ce qui démontre H n+2 .
• En conclusion, H n est vraie pour tout entier naturel n, soit :
∀n ∈ N,∀θ ∈ R,T n (cos(θ)) = cos(nθ).
Unicité du polynôme
Soit P un polynôme vérifiant, pour tout θ ∈ R, P(cos(θ)) = cos(nθ).
On a donc :
∀θ ∈ R,P(cos(θ)) = T n (cos(θ))
ou encore, vu que cos(θ) parcourt [−1,1] quand θ parcourt R :
∀x ∈ [−1,1],P(x) = T n (x).
Ainsi, P − T n possède une infinité de racines (au moins tous les éléments de
[−1,1]) ; ce polynôme est donc nul, d’où P = T n .
3. On voit que, si θ est un réel tel que cos(nθ) = 0, cos(θ) est une racine de T n .
Cependant, ces racines sont toutes de valeurs absolues inférieures ou égales à 1; rien
n’interdit, a priori, qu’il y en ait d’autres. Nous allons donc compter ces racines ;
s’il y en a n distinctes nous pourrons alors affirmer que ce sont les seules.
Fixons donc n ∈ N ∗ .
Si cos(nθ) = 0, il existe un entier relatif k tel que nθ =
π
2
+ kπ, soit θ =
(2k + 1)π
2n
et enfin cos(θ) = cos
(2k + 1)π
2n
. Cependant, différentes valeurs de k peuvent
donner la même valeur de ce cosinus.
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Partie 3 • Algèbre
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