Pour le coefficient dominant nous pouvons nous contenter d’une récurrence simple
vu que l’on connaît le degré de chacun des polynômes intervenant dans la relation
de récurrence : il n’y a donc qu’à considérer directement les termes de plus hauts
degrés.
Pour n ∈ N posons K n : « le coefficient dominant de T n+1 est 2 n ».
• K 0 est clairement vraie car T 1 = X.
• Soit n ∈ N ∗ tel que K n soit vraie.
On a T n+2 = 2X T n+1 − T n . Comme T n+2 est de degré n + 2 son coefficient
dominant est le coefficient de X n+2 dans T n+2 = 2X T n+1 − T n .
Le degré de T n étant n, le coefficient de X n+2 dans T n est 0.
Le degré de T n+1 étant n + 1, le coefficient de X n+2 dans 2X T n+1 est le
double de celui de X n+1 dans T n+1 , i.e. le double du coefficient dominant
de T n+1 qui est, par hypothèse, 2 n .
Ainsi, le coefficient dominant de T n+2 est 2 n+1 donc K n+1 est vraie.
• En conclusion, K n est vraie pour tout n ∈ N, i.e. :
∀n ∈ N, le coefficient dominant de T n+1 est 2
n
.
2. Cette question est double : il faut montrer que T n possède la propriété annoncée
mais également que c’est le seul polynôme la vérifiant. Il est beaucoup plus simple
et clair de séparer ces deux questions.
Vérification de la propriété
Pour établir que T n vérifie la relation donnée nous allons, sans surprise, raisonner
par récurrence sur N.
Il reste à poser correctement l’hypothèse de récurrence. On veut montrer que, n
étant donné, une certaine relation est vraie pour tout réel θ ; la quantification
« ∀θ ∈ R » apparaîtra donc dans l’hypothèse de récurrence.
Pour n ∈ N posons H n : « pour tout réel θ, T n (cos(θ)) = cos(nθ) ».
• H 0 et H 1 sont clairement vraies : T 0 (cos(θ)) = 1 et T 1 (cos(θ)) = cos(θ)
pour tout réel θ.
• Soit n ∈ N tel que H n et H n+1 soient vraies. Soit un réel θ. Alors :
cos((n + 2)θ) = cos((n + 1)θ + θ)
= cos((n + 1)θ) cos(θ) − sin((n + 1)θ) sin(θ)
et, d’autre part,
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
341
Chapitre 15 • Polynômes
9782100547678-Fresl-C15.qxd 5/07/10 9:02 Page 341
vu que l’on connaît le degré de chacun des polynômes intervenant dans la relation
de récurrence : il n’y a donc qu’à considérer directement les termes de plus hauts
degrés.
Pour n ∈ N posons K n : « le coefficient dominant de T n+1 est 2 n ».
• K 0 est clairement vraie car T 1 = X.
• Soit n ∈ N ∗ tel que K n soit vraie.
On a T n+2 = 2X T n+1 − T n . Comme T n+2 est de degré n + 2 son coefficient
dominant est le coefficient de X n+2 dans T n+2 = 2X T n+1 − T n .
Le degré de T n étant n, le coefficient de X n+2 dans T n est 0.
Le degré de T n+1 étant n + 1, le coefficient de X n+2 dans 2X T n+1 est le
double de celui de X n+1 dans T n+1 , i.e. le double du coefficient dominant
de T n+1 qui est, par hypothèse, 2 n .
Ainsi, le coefficient dominant de T n+2 est 2 n+1 donc K n+1 est vraie.
• En conclusion, K n est vraie pour tout n ∈ N, i.e. :
∀n ∈ N, le coefficient dominant de T n+1 est 2
n
.
2. Cette question est double : il faut montrer que T n possède la propriété annoncée
mais également que c’est le seul polynôme la vérifiant. Il est beaucoup plus simple
et clair de séparer ces deux questions.
Vérification de la propriété
Pour établir que T n vérifie la relation donnée nous allons, sans surprise, raisonner
par récurrence sur N.
Il reste à poser correctement l’hypothèse de récurrence. On veut montrer que, n
étant donné, une certaine relation est vraie pour tout réel θ ; la quantification
« ∀θ ∈ R » apparaîtra donc dans l’hypothèse de récurrence.
Pour n ∈ N posons H n : « pour tout réel θ, T n (cos(θ)) = cos(nθ) ».
• H 0 et H 1 sont clairement vraies : T 0 (cos(θ)) = 1 et T 1 (cos(θ)) = cos(θ)
pour tout réel θ.
• Soit n ∈ N tel que H n et H n+1 soient vraies. Soit un réel θ. Alors :
cos((n + 2)θ) = cos((n + 1)θ + θ)
= cos((n + 1)θ) cos(θ) − sin((n + 1)θ) sin(θ)
et, d’autre part,
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
341
Chapitre 15 • Polynômes
9782100547678-Fresl-C15.qxd 5/07/10 9:02 Page 341