À la vue de ces premiers exemples on voit qu’il est raisonnable de penser que T n est
de degré n. De plus, il semblerait que, si n = / 0, le coefficient dominant de T n est
2 n−1 .
Pour répondre à la première question il n’y a plus qu’à poser ces propriétés dans une
hypothèse de récurrence.
1. On peut proposer deux rédactions pour la récurrence :
– la première est de poser H n : « T n est de degré n », d’initialiser en démontrant H 0 et
H 1 et de démontrer l’hérédité en établissant l’implication (H n et H n+1 ) ⇒ H n+2 ;
– la seconde est de poser H n : « pour k n, T k est de degré k ». On initialise pour
n = 1 et l’hérédité consiste simplement à montrer que H n implique H n+1 .
Nous allons ici utiliser la première rédaction.
Pour n ∈ N posons H n : « T n est de degré n ».
• H 0 et H 1 sont clairement vraies car T 0 = 1 et T 1 = X.
• Soit n ∈ N tel que H n et H n+1 soient vraies.
On a T n+2 = 2X T n+1 − T n . D’après l’hypothèse de récurrence on a
deg(T n ) = n et deg(2X T n+1 ) = 1 + deg(T n+1 ) = n + 2 .
Comme deg(2X T n+1 ) et deg(T n ) sont distincts le degré de leur différence
est le maximum de ces degrés, i.e. n + 2. Ainsi, deg(T n+2 ) = n + 2 donc
H n+2 est vraie.
• En conclusion, H n est vraie pour tout n ∈ N, i.e. :
∀n ∈ N,deg(T n ) = n.
Il faut être prudent avec les degrés de sommes. En général, on a seulement l’inégalité deg(P + Q) max(deg(P),deg(Q)) (l’inégalité étant due au fait que les
coefficients dominants peuvent se simplifier). Lorsque deg(P) = / deg(Q) , on a
l’égalité deg(P + Q) = max(deg(P),deg(Q)) .
Il faut toujours vérifier cette condition pour calculer exactement le degré d’une
somme.
340
Partie 3 • Algèbre
n
T n
T
n
T
n
0
1
0
0
1
X
1
0
2
2X 2 − 1
4 X
4
3
4X 3 − 3X
12X 2 − 3
2 4 X
4
8X 4 − 8X 2 + 1
32X 3 − 16X
96X 2 − 16
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