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Dans ce chapitre, K désignera R ou C.
Exercice 15.1 : Polynômes de Chebyshev
On définit une suite de polynômes par T 0 = 1, T 1 = X et, pour n ∈ N,
T n+2 = 2X T n+1 − T n .
1. Déterminer le degré et le coefficient dominant de T n .
2. Soit n ∈ N. Montrer que T n est l’unique polynôme vérifiant :
∀θ ∈ R,T n (cos(θ)) = cos(nθ).
3. Déterminer les racines de T n .
4. Déterminer des relations analogues à celle de la deuxième question pour T
n et
T
n . En déduire une équation différentielle linéaire du second ordre vérifiée
par T n .
5. Déterminer les racines de T
n et sa factorisation dans R[X]. En déduire, de deux
manières différentes, la valeur de T
n (0).
Bien que cela ne soit pas demandé ici il est souvent utile, quand une suite est définie par récurrence, de calculer ses premiers termes. Ceci permet parfois de deviner
les résultats aux questions mais aussi de vérifier sur des exemples simples les calculs généraux ultérieurs.
Nous allons donc calculer les premiers polynômes T n à l’aide de la relation de récurrence mais également T
n et T
n vu qu’ils interviennent dans les deux dernières questions.
Polynômes
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