Exercice 14.11 : Formes linéaires sur les espaces de matrices
Soit n ∈ N ∗ . A toute matrice A de M n (R), on associe une forme linéaire sur
M n (R) par
ϕ A :
M n (R) →
R
M
→ tr(AM)
.
Pour i, j ∈ {1,. . . ,n}, on note E i, j la matrice carrée de taille n dont le coefficient
placé à l’intersection de la i-ème ligne et de la j-ème colonne vaut 1 et les
autres 0. Nous noterons ϕ i, j = ϕ E i, j .
1. Montrer que la famille (ϕ i, j ) 1i, jn est libre.
2. Montrer que toute forme linéaire sur M n (R) est de la forme ϕ A , avec
A ∈ M n (R) .
1. Pour montrer qu’une famille est libre, on procède toujours de la même manière :
on considère une combinaison linéaire nulle et on montre qu’elle est triviale. Soit
(λ i, j ) 1i, jn ∈ R n 2 vérifiant
1i, jn
λ i, j ϕ i, j = 0.
Pour obtenir des informations sur les λ i, j , nous allons appliquer la relation précédente entre formes linéaires à certains vecteurs. Il est naturel de l’appliquer, tout
d’abord, aux vecteurs de la forme E k,l .
Soit (λ i, j ) 1i, jn ∈ R n 2 vérifiant
1i, jn
λ i, j ϕ i, j = 0.
Remarquons que, quel que soient i, j,k,l ∈ {1,. . . ,n}, on a
E i, j E k,l =
0 si j = / k ;
E i,l si j = k.
Par conséquent, quel que soient i, j,k,l ∈ {1,. . . ,n}, on a
ϕ i, j (E k,l ) =



0 si j = / k ;
0 si j = k et i = / l ;
1 si j = k et i = l.
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Partie 3 • Algèbre
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