En appliquant cette formule à la matrice M σ , nous devrions retrouver encore le
résultat attendu. Nous proposons également une rédaction de l’exercice par cette
méthode.
Notons M σ = (m i, j ) 1i, jn . Par définition, on a
det(M σ ) =
τ∈S n
ε(τ)
n
i=1
m i,τ(i)
.
Presque tous les coefficients de la somme sont nuls. Soit τ ∈ S n . Pour que
le terme
n
i=1 m i,τ(i) ne soit pas nul, il faut que, quel que soit
i ∈ {1,. . . ,n}, le coefficient m i,τ(i) ne soit pas nul. D’après la question 1.,
on en déduit qu’il faut que, quel que soit i ∈ {1,. . . ,n}, on ait i = σ(τ(i)),
autrement dit, σ −1 (i) = τ(i) et donc σ −1 = τ. Par conséquent, la somme
donnant le déterminant ne comporte qu’un seul terme non nul :
det(M σ ) = ε(σ −1 )
n
i=1
m i,σ −1 (i)
= ε(σ −1 ).
En effet, quel que soit i ∈ {1,. . . ,n}, on a m i,σ −1 (i) = 1 , puisque
i = σ(σ −1 (i)). Or nous savons que ε(σ −1 ) = ε(σ). On en déduit que
det(M σ ) = ε(σ).
S’il n’est pas connu, le résultat ε(σ −1 ) = ε(σ) peut se redémontrer facilement. En
effet, si σ s’écrit comme produit de transpositions sous la forme
σ = τ 1 ◦ · · · ◦ τ p ,
alors σ −1 s’écrit
σ
−1
= τ
−1
p ◦ · · · ◦ τ
−1
1 = τ p ◦ · · · ◦ τ 1 .
Le nombre de transposistions intervenant dans σ et σ −1 est le même et nous avons
donc
ε(σ
−1
) = ε(σ) = (−1)
p
.
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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Chapitre 14 • Matrices
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