det(M σ ) = det(M τ 1 ◦···◦τ p )
= det(M τ 1 · · · M τ p ),
d’après la question 2.. Nous obtenons finalement
det(M σ ) = det(M τ 1 ) · · · det(M τ p ).
Il nous suffit donc de calculer det(M τ i ), pour i ∈ {1,. . . ,n}. Puisque les matrices
M τ i sont simples, cela ne devrait pas être difficile.
Nous savons que la permutation σ peut s’écrire comme produit de transpositions. Il existe un entier p ∈ N et des transpositions τ 1 ,. . . ,τ p vérifiant
σ = τ 1 ◦ · · · ◦ τ p .
Dans ce cas, la signature de la permutation σ est
ε(σ) = (−1)
p
.
Calculons tout d’abord le déterminant d’une transposition τ ∈ S n . Supposons
que ce soit la transposition (i, j), avec i, j ∈ {1,. . . ,n} et i < j. La matrice
M τ est alors obtenue à partir de la matrice identité en échangeant les
colonnes i et j. Nous savons qu’en échangeant deux colonnes dans un déterminant, on multiplie celui-ci par −1. On en déduit que
det(M τ ) = −det(I n ) = −1.
Calculons, à présent, le déterminant de M σ . D’après la question 2., on a
M σ = M τ 1 · · · M τ p .
Par conséquent, nous avons
det(M σ ) = det
M τ 1 · · · M τ p
= det(M τ 1 ) · · · det(M τ p )
= (−1) p
= ε(σ).
Il existe une autre façon de démontrer le résultat en revenant à la définition du
déterminant. Le déterminant de la matrice A = (a i, j ) 1i, jn est
det(A) =
σ∈S n
ε(σ)
n
i=1
a i,σ(i)
.
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Partie 3 • Algèbre
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