Par conséquent, on a
tr(M σ ) = Card{i ∈ {1,. . . ,n} | i = σ(i)}.
Cette dernière expression est le nombre de points fixes de la permutation σ.
Le résultat que l’on nous demande ensuite de démontrer est une application directe
du précédent et découle simplement des propriétés de la trace.
D’après les propriétés de la trace, nous avons
tr(M σ 1 ◦σ 2 ) = tr(M σ 1 M σ 2 )
= tr(M σ 2 M σ 1 )
= tr(M σ 2 ◦σ 1 ).
D’après le résultat précédent, on en déduit que les permutations σ 1 ◦ σ 2 et
σ 2 ◦ σ 1 ont le même nombre de points fixes.
Ce résultat ne dit rien sur les points fixes eux-mêmes. Il est possible que les points
fixes des permutations σ 1 ◦ σ 2 et σ 2 ◦ σ 1 soient différents. Considérons, par
exemple, les permutations σ 1 = (1 2) et σ 2 = (1 2 3) dans S 3 . Nous avons
σ 1 ◦ σ 2 = (2 3),
dont l’unique point fixe est 1, et
σ 2 ◦ σ 1 = (1 3),
dont l’unique point fixe est 2.
5. Cette question est plus difficile que les précédentes. Cela tient au fait qu’il n’est
pas simple d’obtenir la signature d’une permutation. Rappelons-en une définition.
Si σ ∈ S n possède une écriture sous la forme
σ = τ 1 ◦ · · · ◦ τ p ,
où p ∈ N et τ 1 ,. . . ,τ p sont des transpositions, alors la signature de la permutation
σ vaut
ε(σ) = (−1)
p
.
Cette quantité ne dépend pas de l’écriture de σ comme produit de transpositions.
Au vu de cette définition, une méthode s’impose naturellement. On commence par
écrire σ comme produit de transpositions : σ = τ 1 ◦ · · · ◦ τ p . Nous voulons ensuite
calculer la quantité det(M σ ). Mais nous savons que
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Chapitre 14 • Matrices
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