3. Par définition de l’orthogonalité d’une matrice, nous devons montrer que
t M σ = (M σ )
−1
.
Il est donc naturel de commencer par calculer la matrice
t M σ .
Commençons par calculer la transposée de la matrice M σ . Notons
M σ = (m i, j ) 1i, jn et
t M σ = (n i, j ) 1i, jn . D’après la question 1., quels
que soient i, j ∈ {1,. . . ,n}, on a
n i, j = m j,i
=
0 si j = / σ(i)
1 si j = σ(i)
=
0 si i = / σ −1 ( j)
1 si i = σ −1 ( j)
.
On en déduit que
t M σ = M σ −1 = (M σ )
−1
,
d’après la question précédente.
On en déduit que la matrice M σ est orthogonale.
4. Puisque nous connaissons l’expression des coefficients de la matrice
M σ = (m i, j ) 1i, jn , il ne sera pas difficile de calculer sa trace. Par définition, elle
vaut
tr(M σ ) =
n
i=1
m i,i .
Il nous restera ensuite à identifier l’expression obtenue avec le nombre de points
fixes de σ.
Notons M σ = (m i, j ) 1i, jn . Par définition, on a
tr(M σ ) =
n
i=1
m i,i .
D’après la question 1., quel que soit i ∈ {1,. . . ,n}, on a
m i,i =
0 si i = / σ(i) ;
1 si i = σ(i).
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Partie 3 • Algèbre
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