Notons M σ = (a i, j ) 1i, jn , M τ = (b i, j ) 1i, jn , M σ M τ = (c i, j ) 1i, jn et
M σ◦τ = (d i, j ) 1i, jn . Soient i, j ∈ {1,. . . ,n}. Par définition du produit
matriciel, on a
c i, j =
n
k=1
a i,k b k, j
= a i,τ( j) .
En effet, d’après le résultat de la question précédente utilisé pour la matrice
M τ , on a b τ( j), j = 1 et, quel que soit k = / τ( j), b k, j = 0. En utilisant ce
résultat pour la matrice M σ , on obtient
c i, j =
0 si i = / σ(τ( j)) ;
1 si i = σ(τ( j)).
Nous retrouvons l’expression du coefficient d i, j . On en déduit que
M σ M τ = M σ◦τ .
Nous devons, à présent, montrer que la matrice M σ est inversible et calculer son
inverse. Nous cherchons donc une matrice N qui vérifie
M σ N = I n .
Le résultat précédent nous suggère de chercher cette matrice N sous la forme M τ ,
avec τ ∈ S n . Nous devons alors trouver τ tel que l’on ait
M σ M τ = M σ◦τ = I n .
Il est clair que nous avons M Id = I n . Par conséquent, nous obtiendrons le résultat
voulu si σ ◦ τ = Id. Il suffit donc de choisir τ = σ −1 . Il n’est pas nécessaire d’inclure ce raisonnement dans la rédaction finale. Une vérification suffit.
D’après la formule précédente, on a
M σ M σ −1 = M σ◦σ −1
= M Id
= I n .
On en déduit que la matrice M σ est inversible et que l’on a
(M σ )
−1
= M σ −1 .
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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Chapitre 14 • Matrices
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