Exercice 14.10 : Matrices de permutations (MPSI)
Soit n ∈ N ∗ . Quel que soit σ ∈ S n , on note M σ la matrice carrée de taille n dont
la j-ème colonne est le σ( j)-ème vecteur de la base canonique.
1. Soit σ ∈ S n . Notons M σ = (m i, j ) 1i, jn ∈ M n (R). Donner l’expression de
m i, j , pour i, j ∈ {1,. . . ,n}.
2. Soient σ,τ ∈ S n . Montrer que l’on a l’égalité
M σ◦τ = M σ M τ .
En déduire que la matrice M σ est inversible et calculer son inverse.
3. Soit σ ∈ S n . Montrer que la matrice M σ est orthogonale.
4. Soit σ ∈ S n . Montrer que la trace de la matrice M σ est égale au nombre de
points fixes de la permutation σ.
Soient σ 1 ,σ 2 ∈ S n . Montrer que les permutations σ 1 ◦ σ 2 et σ 2 ◦ σ 1 ont le même
nombre de points fixes.
5. Soit σ ∈ S n . Montrer que le déterminant de la matrice M σ est égal à la signature de la permutation σ.
1. Cette première question est élémentaire. Elle a pour but de nous faire manipuler
les objets introduits afin de mieux les comprendre. Il est néanmoins essentiel d’en
rédiger correctement la réponse.
Soit j ∈ {1,. . . ,n}. Par définition de M σ , sa j-ème colonne est égale au
σ( j)-ème vecteur de la base canonique. La j-ème colonne de M σ n’est autre
que le vecteur
m 1, j
. . .
m n, j
∈ R n . Quel que soit i ∈ {1,. . . ,n}, nous avons
donc
m i, j =
0 si i = / σ( j) ;
1 si i = σ( j).
2. Cette deuxième question consiste en une vérification. Puisque nous connaissons
l’expression explicite des coefficients des matrices M σ et M τ , nous allons pouvoir
calculer les coefficients du produit de ces deux matrices par la formule habituelle.
Rappelons-la. Si A = (a i, j ) 1i, jn et B = (b i, j ) 1i, jn sont deux matrices et que
l’on note AB = (c i, j ) 1i, jn leur produit, on a
∀i, j ∈ {1,. . . ,n}, c i, j =
n
k=1
a i,k b k, j .
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Partie 3 • Algèbre
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Soit n ∈ N ∗ . Quel que soit σ ∈ S n , on note M σ la matrice carrée de taille n dont
la j-ème colonne est le σ( j)-ème vecteur de la base canonique.
1. Soit σ ∈ S n . Notons M σ = (m i, j ) 1i, jn ∈ M n (R). Donner l’expression de
m i, j , pour i, j ∈ {1,. . . ,n}.
2. Soient σ,τ ∈ S n . Montrer que l’on a l’égalité
M σ◦τ = M σ M τ .
En déduire que la matrice M σ est inversible et calculer son inverse.
3. Soit σ ∈ S n . Montrer que la matrice M σ est orthogonale.
4. Soit σ ∈ S n . Montrer que la trace de la matrice M σ est égale au nombre de
points fixes de la permutation σ.
Soient σ 1 ,σ 2 ∈ S n . Montrer que les permutations σ 1 ◦ σ 2 et σ 2 ◦ σ 1 ont le même
nombre de points fixes.
5. Soit σ ∈ S n . Montrer que le déterminant de la matrice M σ est égal à la signature de la permutation σ.
1. Cette première question est élémentaire. Elle a pour but de nous faire manipuler
les objets introduits afin de mieux les comprendre. Il est néanmoins essentiel d’en
rédiger correctement la réponse.
Soit j ∈ {1,. . . ,n}. Par définition de M σ , sa j-ème colonne est égale au
σ( j)-ème vecteur de la base canonique. La j-ème colonne de M σ n’est autre
que le vecteur
m 1, j
. . .
m n, j
∈ R n . Quel que soit i ∈ {1,. . . ,n}, nous avons
donc
m i, j =
0 si i = / σ( j) ;
1 si i = σ( j).
2. Cette deuxième question consiste en une vérification. Puisque nous connaissons
l’expression explicite des coefficients des matrices M σ et M τ , nous allons pouvoir
calculer les coefficients du produit de ces deux matrices par la formule habituelle.
Rappelons-la. Si A = (a i, j ) 1i, jn et B = (b i, j ) 1i, jn sont deux matrices et que
l’on note AB = (c i, j ) 1i, jn leur produit, on a
∀i, j ∈ {1,. . . ,n}, c i, j =
n
k=1
a i,k b k, j .
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