déduit que l’application linéaire ϕ est un isomorphisme. C’est en particulier
une application bijective. Quels que soient β 1 ,. . . ,β n ∈ K, il existe donc un
unique polynôme P ∈ K n−1 [X] vérifiant ϕ(P) = (β 1 ,. . . ,β n ), c’est-à-dire
∀i ∈ {1,. . . ,n}, P(α i ) = β i .
Le résultat obtenu nous rappelle un résultat du cours sur l’interpolation polynomiale
et, précisément, l’interpolation de Lagrange (cf. exercice 15.6). Ce dernier nous
fournit des formules explicites pour trouver un polynôme P(X) vérifiant les conditions requises.
Nous pouvons démontrer le même résultat en raisonnant uniquement sur les
polynômes.
• Unicité. Démontrons, tout d’abord, l’unicité. Supposons qu’il existe deux
polynômes P et Q dans K n−1 [X] vérifiant
∀i ∈ {1,. . . ,n}, P(α i ) = Q(α i ) = β i .
On a alors
∀i ∈ {1,. . . ,n}, (P − Q)(α i ) = 0.
Le polynôme P − Q est donc un polynôme de degré inférieur ou égal à
n − 1 qui possède n racines distinctes α 1 ,. . . ,α n . C’est nécessairement le
polynôme nul. On en déduit que P = Q .
• Existence. Pour montrer l’existence du polynôme demandé, nous allons
utiliser l’interpolation de Lagrange. Soit i ∈ {1,. . . ,n}. On pose
L i (X) =
j /
= i
X − α j
α i − α j
∈ K n−1 [X].
On a alors
∀ j ∈ {1,. . . ,n}, L i (α j ) =
0 si j = / i
1 si j = i.
Le polynôme
P(X) =
n
i=1
β i L i (X) ∈ K n−1 [X]
vérifie alors les conditions requises.
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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Chapitre 14 • Matrices
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