Démontrons, à présent, l’implication réciproque. Supposons que, quels que
soient les indices i et j distincts, on a a i = / a j . Notons f l’endomorphisme
de K n canoniquement associé à V (a 1 ,. . . ,a n ) , c’est-à-dire l’endomorphisme
de K n dont la matrice dans la base canonique est V (a 1 ,. . . ,a n ) . Soit
x = (x 1 ,. . . ,x n ) ∈ Ker( f ). On a alors



x 1 + x 2 a 1 + ··· + x n a
n−1
1
= 0
. . .
. . .
. . .
. . .
x 1 + x 2 a n + ··· + x n a n−1
n
= 0
.
Posons P(X) = x 1 + x 2 X + · · · + x n X n−1 . Le système précédent peut
s’écrire sous la forme
∀i ∈ {1,. . . ,n}, P(a i ) = 0.
Par conséquent, le polynôme P(X) possède au moins n racines distinctes :
a 1 ,. . . ,a n . Puisque le polynôme P(X) est de degré inférieur ou égal à
n − 1, cette condition impose que ce soit le polynôme nul. On en déduit que
x 1 = · · · = x n = 0 et donc que x = 0.
Nous avons montré que le noyau de l’endomorphisme f est nul. On en déduit
que f est un isomorphisme et donc que sa matrice V (a 1 ,. . . ,a n ) dans la
base canonique est inversible.
2. Commençons par calculer la matrice de l’application ϕ dans les bases demandées.
Quel que soit i ∈ {0,. . . ,n − 1}, nous avons
ϕ(X
i
) = (α
i
1 ,. . . ,α
i
n ).
On en déduit que la matrice de ϕ dans la base B au départ et C à l’arrivée
est


1 α 1 . . . α
n−1
1
. . .
. . .
. . .
1 α n . . . α n−1
n

 = V (α 1 ,. . . ,α n ).
Nous retrouvons la matrice V (α 1 ,. . . ,α n ) que nous avons étudiée à la question précédente. Puisque, par hypothèse, les nombres α 1 ,. . . ,α n sont deux à deux distincts,
nous savons que cette matrice est inversible. Il nous reste à interpréter ce résultat de
la façon dont l’énoncé nous le suggère.
Quels que soient i, j ∈ {1,. . . ,n}, avec i = / j, nous avons α i = / α j . D’après
la question précédente, la matrice V (α 1 ,. . . ,α n ) est donc inversible. On en
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Partie 3 • Algèbre
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