Exercice 14.9 : Matrice de Vandermonde
Soient n ∈ N et a 1 ,. . . ,a n ∈ K. On note
V (a 1 ,. . . ,a n ) =
1 a 1 . . . a
n−1
1
. . .
. . .
. . .
1 a n . . . a n−1
n
∈ M n (K).
1. Montrer que la matrice V (a 1 ,. . . ,a n ) est inversible si, et seulement si, on a
∀i = / j, a i = / a j .
2. Soient α 1 ,. . . ,α n ∈ K tels que ∀i = / j, α i = / α j . Considérons l’application
linéaire
ϕ :
K n−1 [X] →
K n
P(X)
→ (P(α 1 ),. . . ,P(α n ))
.
Calculer la matrice de l’application dans la base B = (1,X,. . . ,X n−1 ) au départ
et la base canonique C à l’arrivée. En déduire que, quels que soient
β 1 ,. . . ,β n ∈ K, il existe un unique polynôme P ∈ K n−1 [X] vérifiant
∀i ∈ {1,. . . ,n}, P(α i ) = β i .
Connaissez-vous une autre façon de démontrer ce résultat ?
1. Première implication
Commençons par une remarque simple. S’il existe deux indices i et j distincts tels
que a i = a j , alors les i-ème et j-ème lignes de la matrice V (a 1 ,. . . ,a n ) sont égales
et cette matrice ne peut pas être inversible. Cette implication n’est pas, à proprement
parler, l’une de celles demandées. Cependant, sa contraposée en est une.
Nous allons montrer que si la matrice V (a 1 ,. . . ,a n ) est inversible, alors on
a ∀i = / j, a i = / a j . Par contraposition, il nous suffit de montrer que s’il
existe i = / j tels que a i = a j , alors V (a 1 ,. . . ,a n ) n’est pas inversible.
Cette dernière proposition est évidente puisque la matrice V (a 1 ,. . . ,a n )
possède alors deux lignes identiques.
Seconde implication
Nous devons, à présent, démontrer l’implication réciproque : si ∀i = / j, a i = / a j ,
alors la matrice V (a 1 ,. . . ,a n ) est inversible. Nous allons chercher à montrer que le
noyau de l’endomorphisme canoniquement associé à cette matrice est nul.
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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Chapitre 14 • Matrices
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Soient n ∈ N et a 1 ,. . . ,a n ∈ K. On note
V (a 1 ,. . . ,a n ) =
1 a 1 . . . a
n−1
1
. . .
. . .
. . .
1 a n . . . a n−1
n
∈ M n (K).
1. Montrer que la matrice V (a 1 ,. . . ,a n ) est inversible si, et seulement si, on a
∀i = / j, a i = / a j .
2. Soient α 1 ,. . . ,α n ∈ K tels que ∀i = / j, α i = / α j . Considérons l’application
linéaire
ϕ :
K n−1 [X] →
K n
P(X)
→ (P(α 1 ),. . . ,P(α n ))
.
Calculer la matrice de l’application dans la base B = (1,X,. . . ,X n−1 ) au départ
et la base canonique C à l’arrivée. En déduire que, quels que soient
β 1 ,. . . ,β n ∈ K, il existe un unique polynôme P ∈ K n−1 [X] vérifiant
∀i ∈ {1,. . . ,n}, P(α i ) = β i .
Connaissez-vous une autre façon de démontrer ce résultat ?
1. Première implication
Commençons par une remarque simple. S’il existe deux indices i et j distincts tels
que a i = a j , alors les i-ème et j-ème lignes de la matrice V (a 1 ,. . . ,a n ) sont égales
et cette matrice ne peut pas être inversible. Cette implication n’est pas, à proprement
parler, l’une de celles demandées. Cependant, sa contraposée en est une.
Nous allons montrer que si la matrice V (a 1 ,. . . ,a n ) est inversible, alors on
a ∀i = / j, a i = / a j . Par contraposition, il nous suffit de montrer que s’il
existe i = / j tels que a i = a j , alors V (a 1 ,. . . ,a n ) n’est pas inversible.
Cette dernière proposition est évidente puisque la matrice V (a 1 ,. . . ,a n )
possède alors deux lignes identiques.
Seconde implication
Nous devons, à présent, démontrer l’implication réciproque : si ∀i = / j, a i = / a j ,
alors la matrice V (a 1 ,. . . ,a n ) est inversible. Nous allons chercher à montrer que le
noyau de l’endomorphisme canoniquement associé à cette matrice est nul.
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