Pour calculer u n et v n , il nous reste simplement, maintenant, à regrouper les résultats précédents. Nous avons vu que
u n
v n
= X n = A
n X 0 .
Il nous suffit donc de calculer A n . Nous venons de montrer que A n = P D n P −1 . Il
nous suffit donc de calculer P −1 et D n .
Il est facile d’inverser une matrice carrée de taille 2. De manière générale, si
M =
a b
c d
, avec ad − bc = / 0, on a
M
−1
=
1
ad − bc
d −b
−c a
.
Si l’on ne souhaite pas retenir la formule, on peut appliquer l’algorithme habituel
basé sur le pivot de Gauβ.
Le calcul de D n est très simple puisque la matrice D est diagonale. Quel que soit
n ∈ N, on a
D
n
=
2 n 0
0 3 n
.
D’après la question 1., quel que soit n ∈ N, on a
X n = A n X 0
= P D n P −1 X 0 .
Or nous avons
P
−1
=
−1 2
1 −1
et, quel que soit n ∈ N,
D
n
=
2 n 0
0 3 n
.
Tous calculs faits, on trouve que, quel que soit n ∈ N, on a
u n = 3.2 n − 2.3 n
v n = 3.2 n − 3 n
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Partie 3 • Algèbre
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