Calculons, à présent, A 2 grâce à cette formule. On a
A
2
= (P D P
−1
)
2
= P D P
−1 P D P
−1
= P D
2 P
−1
.
Nous pourrions être tentés d’écrire (P D P −1 ) 2 = P 2 D 2 P −2 , mais cette formule
est, en général, fausse. Nous devons revenir à la définition de l’élévation au carré :
pour toute matrice R ∈ M 2 (R), nous avons R 2 = R.R. Appliquée à
R = P D P −1 , cette formule nous donne
(P D P −1 ) 2 = (P D P −1 )(P D P −1 )
= P D(P −1 P)D P −1
= P D 2 P −1 .
De la même manière que précédemment, on trouve
A
3
= A
2 A = P D
2 P
−1 P D P
−1
= P D
3 P
−1
.
En continuant ainsi, on montre que, quel que soit n ∈ N, on a
A
n
= P D
n P
−1
.
Nous allons rédiger ce raisonnement en procédant par récurrence.
Montrons par récurrence que, quel que soit n ∈ N, la proposition
H n : « A n = P D n P −1 » est vraie.
• On a
A
0
= I 2 = P D
0 P
−1
.
Par conséquent, la proposition H 0 est vraie.
• Soit n ∈ N tel que la proposition H n est vraie. Nous avons
A n = P D n P −1 . Nous avons montré que D = P −1 AP et donc que
A = P D P −1 . On en déduit que
A
n+1
= A
n A = P D
n P
−1 P D P
−1
= P D
n+1 P
−1
.
Par conséquent, la proposition H n+1 est vraie.
• Finalement, quel que soit n ∈ N, on a A n = P D n P −1 .
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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Chapitre 14 • Matrices
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