La formule P −1 AP = D signifie exactement que la matrice de l’application f dans
la base B est D =
2 0
0 3
. Autrement dit, on a
f (c 1 ) = 2 c 1 + 0 c 2 = 2 c 1
et
f (c 2 ) = 0 c 1 + 3 c 2 = 3 c 2 .
Nous pouvons retraduire ces deux dernières égalité sous la forme
c 1 ∈ Ker( f − 2Id)
et
c 2 ∈ Ker( f − 3Id).
Nous en déduisons des candidats potentiels pour accomplir le rôle de c 1 et c 2 : ce
sont respectivement a et b.
La famille B = (a,b) forme une base de R 2 car les vecteurs a et b ne sont
pas colinéaires. Puisque a ∈ Ker( f − 2Id) et que b ∈ Ker( f − 3Id) , on a
f (a) = 2a et f (b) = 3b.
On en déduit que la matrice de l’application f dans la base B est
D =
2 0
0 3
.
Soit P ∈ G L 2 (R) la matrice de changement de base de la base canonique
à B :
P =
1 2
1 1
.
Par la formule du changement de base, on a alors
P
−1 AP = D.
3. Nous devons exprimer A n en fonction de D n . Commençons par nous faire une
idée en étudiant le problème pour les premières valeurs de n. Pour n = 1, nous
avons D = P −1 AP. En la multipliant par P à gauche et P −1 à droite, on trouve
P D P
−1
= P P
−1 AP P
−1
= A.
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Partie 3 • Algèbre
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