On a
A − 2I 2 =
2 −2
1 −1
.
Par conséquent, (x,y) ∈ Ker( f − 2Id) si, et seulement si, on a
2x − 2y = 0
x − y = 0
autrement dit,
y = x.
On en déduit que
Ker( f − 2Id) = { (x,x) | x ∈ R}
et que la famille (a = (1,1)) est une base de Ker( f − 2Id).
On a
f − 3Id =
1 −2
1 −2
.
Par conséquent, (x,y) ∈ Ker( f − 3Id) si, et seulement si, on a
x − 2y = 0
x − 2y = 0
autrement dit,
x = 2y.
On en déduit que
Ker( f − 3Id) = { (2y,y) | y ∈ R}
et que la famille (b = (2,1)) est une base de Ker( f − 3Id).
Nous devons déduire des résultats précédents une matrice P ∈ G L 2 (R) vérifiant
P −1 AP = D. Nous reconnaissons ici la formule de changement de base. Détaillons
un peu. Notons c 1 et c 2 les colonnes de P et B la base (c 1 ,c 2 ) de R 2 (cette famille
est une base car la matrice P est inversible).
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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Chapitre 14 • Matrices
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