Quel que soit n ∈ N, on a
A X n =
4 −2
1 1
u n
v n
=
4 u n − 2 v n
u n + v n
=
u n+1
v n+1
= X n+1 .
En ce qui concerne la seconde partie de la question, commençons, pour nous faire
une idée, par résoudre le problème pour les premières valeurs de n. Nous allons calculer X n en ne faisant intervenir que A et X 0 . Tout d’abord, on a X 0 = X 0 . Ensuite,
le raisonnement précédent nous montre que l’on a X 1 = A X 0 . Calculons encore
X 2 = A X 1 = A (A X 0 ) = A
2 X 0
et
X 3 = A X 2 = A (A
2 X 0 ) = A
3 X 0 .
En continuant ainsi, on montre que, quel que soit n ∈ N, on a
X n = A
n X 0 .
Cela se démontre proprement à l’aide d’une récurrence.
Montrons par récurrence que, quel que soit n ∈ N, on a
X n = A
n X 0 .
L’initialisation est évidente : on a
A
0 X 0 = I 2 X 0 = X 0 .
Soit n ∈ N tel que X n = A n X 0 . D’après le raisonnement précédent, on a
X n+1 = A X n
= A (A n X 0 )
= A n+1 X 0 .
2. L’exercice débute par des calculs.
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Partie 3 • Algèbre
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