Exercice 14.8 : Suites couplées
Soient (u n ) n∈N et (v n ) n∈N les suites à termes réels définies par
u 0 = 1
v 0 = 2
et, quel que soit n ∈ N, u n+1 = 4 u n − 2 v n
v n+1 = u n + v n
.
Quel que soit n ∈ N, on pose
X n =
u n
v n
.
1. Trouver une matrice A ∈ M 2 (R) telle que, quel que soit n ∈ N, on ait
X n+1 = A X n .
Soit n ∈ N. Exprimer X n en fonction des puissances de A et de X 0 .
2. Notons f l’endomorphisme de R 2 dont la matrice dans la base canonique est A.
Calculer une base des espaces vectoriels Ker( f − 2Id) et Ker( f − 3Id). En
déduire une matrice P ∈ G L 2 (R) vérifiant
P
−1 AP =
2 0
0 3
= D.
3. Soit n ∈ N. Calculer A n en fonction de D n . En déduire l’expression de u n et v n .
1. La première partie de la question est facile. On nous demande simplement de
réécrire sous forme matricielle le système
u n+1 = 4 u n − 2 v n
v n+1 = u n + v n
en faisant intervenir les vecteurs
X n =
u n
v n
et X n+1 =
u n+1
v n+1
.
Posons
A =
4 −2
1 1
.
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Chapitre 14 • Matrices
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