Soient k,l ∈ {1,. . . ,n}. On a
1i, jn
λ i, j ϕ i, j (E k,l ) = λ l,k = 0.
On en déduit que la famille (ϕ i, j ) 1i, jn est libre.
2. D’après la question précédente, la famille (ϕ i, j ) 1i, jn est une famille libre de
(M n (R)) ∗ . En fait, nous avons même mieux. En effet, cette famille possède n 2 vecteurs et on a
dim
(M n (R))
∗
= dim (M n (R)) = n
2
.
Par conséquent, la famille (ϕ i, j ) 1i, jn est une base de (M n (R)) ∗ . Cette remarque
nous permet d’écrire toute forme linéaire sur M n (R) comme combinaison linéaire
des ϕ i, j . Cela devrait nous suffire pour conclure.
Nous avons
dim
(M n (R))
∗
= dim (M n (R)) = n
2
.
Par conséquent, la famille (ϕ i, j ) 1i, jn est une base de (M n (R)) ∗ , car elle
est libre et possède n 2 vecteurs.
Soit ϕ une forme linéaire sur M n (R). Nous savons qu’il existe
(µ i, j ) 1i, jn ∈ R n 2 vérifiant
ϕ =
1i, jn
µ i, j ϕ i, j .
Or, par linéarité de la trace, quels que soient A,B ∈ M n (R) et α ∈ R , on a
ϕ A + ϕ B = ϕ A+B
α ϕ A = ϕ α A
,
On en déduit que ϕ = ϕ R , où R =
1i, jn
µ i, j E i, j .
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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Chapitre 14 • Matrices
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