

1 1 2
−1 0 −1
−3 3 1




1 1 2
0 1 1
0 6 7


L 2
L 2 + L 1
L 3
L 3 + 3L 1


1 1 2
0 1 1
0 0 1


L 3
L 3 − 6L 2
On déduit des calculs précédents que la matrice est inversible. Par conséquent, la famille C est une base de R 3 .
Puisque les espaces G et H sont obtenus en prenant les espaces vectoriels
engendrés par deux parties complémentaires d’une base de R 3 , ils sont
nécessairement supplémentaires.
2.b. Pour répondre à cette question, il suffit de se rappeler la définition d’une symétrie.
Par définition, on a s |G = Id et s |H = −Id. Par conséquent, on a
s(c 1 ) = c 1 , s(c 2 ) = −c 2 et s(c 3 ) = −c 3 . On en déduit que la matrice de s
dans la base C est
S =


1 0
0
0 −1 0
0 0 −1

 .
2.c. Dans cette question, il faut se souvenir de la définition d’une matrice de passage et du procédé pour calculer l’inverse d’une matrice.
La matrice de passage de E à C est
Q =


1 1 2
−1 0 −1
−3 3 1

 .
Calculons son inverse par la méthode du pivot de Gauβ.
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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Chapitre 14 • Matrices
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