1.d. Dans cette dernière partie, il s’agit, là encore, d’appliquer le cours. La matrice
de passage de E à B est, par définition, la matrice dont les colonnes sont les vecteurs
de B exprimés dans la base E. Rappelons que c’est également la matrice de l’application identité de R 3 muni de la base B vers R 3 muni de la base E.
En outre, si P est la matrice de passage de E à B, M la matrice de p dans B et N la
matrice de p dans E, nous avons la relation
M = P
−1 N P.
La matrice de passage de B à E est
P =


1 −2 0
1 −1 −3
2 3 −1

 .
La formule de changement de base nous montre que l’on a la formule
M = P
−1 N P.
Pour finir, nous pouvons remarquer que l’on connaît la matrice P −1 . En effet, c’est
la matrice de passage de la base B à la base E, autrement dit, celle dont les colonnes
sont les vecteurs de E exprimés dans B. Nous avons effectué ce calcul à la question
1.c. et avons trouvé
P
−1
=







1
2
−
1
10
3
10
−
1
4
−
1
20
3
20
1
4
−
7
20
1
20







.
2. Cet exercice est proche du précédent : on nous donne une application linéaire qui
a une expression très simple dans une base donnée et on nous demande de trouver
son expression dans une autre base. Cependant, la méthode utilisée est différente.
Dans l’exercice précédent, nous raisonnions sur les vecteurs de la base. Cette foisci, nous travaillerons avec la matrice de changement de base.
2.a. On procède ici comme à la question 1.a.
Nous allons effectuer des opérations sur les lignes de la matrice dont les
colonnes sont les vecteurs de C.
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Partie 3 • Algèbre
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