et donc que
e 1 =
1
2
b 1 −
1
4
b 2 +
1
4
b 3 .
On montre de même que
e 2 = −
1
10
b 1 −
1
20
b 2 −
7
20
b 3
et que
e 3 =
3
10
b 1 +
3
20
b 2 +
1
20
b 3 .
Un calcul nous montre que

      
      
e 1 =
1
2
b 1 −
1
4
b 2 +
1
4
b 3
e 2 = −
1
10
b 1 −
1
20
b 2 −
7
20
b 3
e 3 =
3
10
b 1 +
3
20
b 2 +
1
20
b 3
Puisque nous savons que p(b 1 ) = b 1 , que p(b 2 ) = b 2 et que p(b 3 ) = 0, nous pouvons calculer les expressions de p(e 1 ), p(e 2 ) et p(e 3 ) dans la base B. Il ne nous restera plus, ensuite, qu’à revenir aux expressions des vecteurs dans la base E. Puisque
les vecteurs b 1 , b 2 et b 3 sont justement définis par leurs coordonnées dans la base
E, il s’agira d’un simple calcul.
On en déduit que nous avons

     
     
p(e 1 ) =
1
2
b 1 −
1
4
b 2
= e 1 +
3
4
e 2 +
1
4
e 3
p(e 2 ) = −
1
10
b 1 −
1
20
b 2 = −
1
20
e 2 −
7
20
e 3
p(e 3 ) =
3
10
b 1 +
3
20
b 2 =
3
20
e 2 +
21
20
e 3
.
La matrice de p dans la base E est donc
N =





1
0
0
3
4
−
1
20
3
20
1
4
−
7
20
21
20





.
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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Chapitre 14 • Matrices
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