

1 −2 0
0 1 −3
0 0 20


L 3
L 3 − 7L 2
On déduit des calculs précédents que la matrice est inversible. Par conséquent, la famille B est une base de R 3 .
Puisque les espaces E et F sont obtenus en prenant les espaces vectoriels
engendrés par deux parties complémentaires d’une base de R 3 , ils sont
nécessairement supplémentaires.
1.b. Ici, il s’agit simplement d’appliquer les définitions.
Par définition, on a p |E = Id et p |F = 0. Par conséquent, on a p(b 1 ) = b 1 ,
p(b 2 ) = b 2 et p(b 3 ) = 0. On en déduit que la matrice de p dans la base B est
M =


1 0 0
0 1 0
0 0 0

 .
1.c. Nous devons calculer la matrice de p dans la base E. Pour cela, il nous faut
écrire les vecteurs de E dans la base B. Ces calculs doivent s’effectuer au brouillon :
pour la rédaction finale, seul le résultat importe.
Calculons l’expression de e 1 dans la base B. Nous devons résoudre le système



x − 2y
= 1
x − y − 3z = 0
2x + 3y − z = 0
Par opérations élémentaires sur les lignes, on obtient



x − 2y
= 1
y − 3z = −1
L 2
L 2 − L 1
7y − z = −2
L 3
L 3 − 2L 1



x − 2y
= 1
y − 3z = −1
20z = 5
L 3
L 3 − 7L 2
On en déduit que

     
     
x =
1
2
y = −
1
4
z =
1
4
316
Partie 3 • Algèbre
−→
−→
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