Notons
E = Vect(b 1 ,b 2 ) et F = Vect(b 3 ).
a. Montrer que la famille B = (b 1 ,b 2 ,b 3 ) est une base de R 3 . Que peut-on dire
des espaces E et F ?
b. Soit p la projection sur E parallèlement à F. Calculer la matrice M de p dans
la base B.
c. Notons E = (e 1 ,e 2 ,e 3 ) la base canonique de R 3 . Calculer la matrice N de p
dans la base E.
d. Calculer la matrice P de passage de E à B. Quelle relation existe-t-il entre les
matrices M, N et P ?
2. Soient les vecteurs de R 3
c 1 = (1,−1,−3), c 2 = (1,0,3) et c 3 = (2,−1,1).
Notons
G = Vect(c 1 ) et H = Vect(c 2 ,c 3 ).
a. Montrer que la famille C = (c 1 ,c 2 ,c 3 ) est une base de R 3 . Que peut-on dire des
espaces G et H ?
b. Soit s la symétrie par rapport à G parallèlement à H. Calculer la matrice S de
s dans la base C.
c. Calculer la matrice Q de passage de E à C et son inverse.
d. En utilisant la question précédente, calculer la matrice T de s dans la base E.
Cette exercice a pour seul objet de faire revoir les définitions de base du cours et de
les appliquer. Nous aurons besoin de savoir montrer qu’une famille est une base, de
connaître la définition d’une projection et d’une symétrie, de calculer la matrice
d’un endomorphisme dans une base et d’effectuer un changement de base.
1.a. Pour montrer que la famille B est une base de R 3 , nous allons appliquer la
méthode du pivot de Gauβ sur la matrice dont les colonnes sont les vecteurs de B.
Nous allons effectuer des opérations sur les lignes de la matrice dont les
colonnes sont les vecteurs de B.


1 −2 0
1 −1 −3
2 3 −1




1 −2 0
0 1 −3
0 7 −1

 L 2
L 2 − L 1
L 3
L 3 − 2L 1
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Chapitre 14 • Matrices
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