2. Montrer que la matrice A est inversible. Comme d’habitude, nous allons montrer
que le noyau de l’application linéaire canoniquement associée est réduit à {0}. En
nous aidant du calcul précédent, cela ne devrait pas poser de problèmes.
Notons a l’endomorphisme de R n dont la matrice dans la base canonique est
A. Soit x = (x 1 ,. . . ,x n ) ∈ Ker(a). Posons X =


x 1
. . .
x n

 . Nous avons alors
AX = 0. D’après le résultat de la question précédente, nous avons donc
n
i=1
x i
2
+
n
i=1
a i x
2
i = tr(
t X AX) = 0.
Or, quel que soit i ∈ {1,. . . ,n}, on a a i 0. Nous avons donc une somme
de termes positifs dont la somme est nulle. On en déduit que chacun de ces
termes doit être nul :
n
i=1
x i
2
= a 1 x
2
1 = · · · = a n x
2
n = 0.
Quel que soit i ∈ {1,. . . ,n}, on a a i = / 0 . Cela impose que
x 1 = · · · = x n = 0 et donc que x = 0. On en déduit que Ker(a) = {0}. Par
conséquent, l’endomorphisme a est un isomorphisme et sa matrice A dans
la base canonique est inversible.
Exercice 14.6 : Réduction d’un endomorphisme
1. Soient E un espace vectoriel sur R, f et g deux endomorphismes de E. Montrer
que f ◦ g = 0 si, et seulement si, Im(g) ⊂ Ker( f ).
2. Soit f un endomorphisme non nul de R 3 vérifiant f 2 = 0.
a. En utilisant la question précédente, calculer la dimension du noyau et de
l’image de f.
b. Montrer qu’il existe une base de R 3 dans laquelle l’endomorphisme f a pour
matrice


0 0 1
0 0 0
0 0 0

 . On pensera à chercher une base adaptée à toutes les inclusions rencontrées dans l’exercice.
1. Cette première question est très classique et il faut savoir la rédiger correctement
et rapidement.
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Partie 3 • Algèbre
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