Par linéarité de la trace, nous avons
tr(
t X AX) = tr(
t X R X) + tr(
t X DX).
Calculons séparément ces deux termes.
Nous avons
R X =







n
i=1
x i
. . .
n
i=1
x i







et donc
t X R X = ( x 1 . . . x n )







n
i=1
x i
. . .
n
i=1
x i







=
n
i=1
x i
2
.
D’autre part, nous avons
D X =


a 1 x 1
. . .
a n x n


et donc
t X DX = ( x 1 . . . x n )


a 1 x 1
. . .
a n x n

 =
n
i=1
a i x
2
i
.
Finalement, on obtient
tr(
t X AX) =
n
i=1
x i
2
+
n
i=1
a i x
2
i .
L’utilisation de la trace dans la dernière étape peut paraître étrange, puisque nous
l’appliquons à une matrice carrée de taille 1 et ne contenant donc qu’un seul coefficient. Elle permet en fait de passer d’un objet qui est un élément de M 1,1 (R) à un
objet, sa trace, qui est véritablement un élément de R.
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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Chapitre 14 • Matrices
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