On déduit des calculs précédents que
A
−1
=


1
4
−1
1
7
−2
−3 −17 5

 .
Exercice 14.5 : Une matrice inversible
Soient a 1 ,. . . ,a n ∈ R ∗
+ . Soit la matrice
A =









1 + a 1
1
. . . . . .
1
1
1+ a 2
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
1
1
. . .
. . . 1 1 + a n









∈ M n (R).
1. Soient (x 1 ,. . . ,x n ) ∈ R n . Posons X =



x 1
. . .
x n


. En écrivant la matrice A comme
somme d’une matrice de rang 1 et d’une matrice diagonale, calculer la quantité
tr( t X AX).
2. En déduire que la matrice A est inversible.
1. L’énoncé nous suggère d’écrire la matrice A comme somme d’une matrice de
rang 1 et d’une matrice diagonale. Une décomposition s’impose :
A =






1 . . . . . . 1
. . .
. . .
. . .
. . .
1 . . . . . . 1






+






a 1 0 . . . 0
0 a 2
. . .
. . .
. . .
. . .
. . . 0
0 . . . 0 a n






.
Il ne nous reste plus, à présent, qu’à calculer la quantité demandée en nous servant
de cette décomposition.
Nous avons
A =






1 . . . . . . 1
. . .
. . .
. . .
. . .
1 . . . . . . 1






+






a 1 0 . . . 0
0 a 2
. . .
. . .
. . .
. . .
. . . 0
0 . . . 0 a n






= R + D.
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Partie 3 • Algèbre
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