Exercice 14.4 : Calcul explicite d’inverse
Soit la matrice
A =
1 −3 −1
1 2
1
4 5
3
.
Montrer que la matrice A est inversible et calculer son inverse.
Cet exercice se résout classiquement en utilisant la méthode du pivot de Gauβ. On
effectue des opérations élémentaires sur les lignes de A de façon à la transformer en
une matrice triangulaire supérieure. La matrice est alors diagonalisable si, et seulement si, aucun des coefficients diagonaux de la matrice triangulaire n’est nul.
Pour calculer l’inverse, on effectue des opérations élémentaires sur les lignes de la matrice
triangulaire de façon à la transformer en la matrice I 3 . Si l’on effectue sur la matrice I 3 les
opérations qui nous ont permis de passer de A à I 3 , on aboutit à la matrice A −1 .
Dans la présentation que nous adoptons, nous effectuons les opérations sur la matrice I 3 en
même temps que nous les effectuons sur la matrice A.
Effectuons des opérations élémentaires sur les lignes de A.
1 −3 −1
1 2
1
4 5
3
1 0 0
0 1 0
0 0 1
1 −3 −1
0 5
2
0 17 7
L 2
L 2 − L 1
L 3
L 3 − 4L 1
1 0 0
−1 1 0
−4 0 1
1 −3 −1
0 5
2
0 0
1
5
L 3
L 3 −
17
5
L 2
1
0
0
−1
1
0
−
3
5
−
17
5
1
À ce stade du raisonnement, nous pouvons affirmer que la matrice A est inversible.
1 −3 −1
0 1
2
5
0 0
1
L 2
1
5
L 2
L 3
5L 3
1
0
0
−
1
5
1
5
0
−3 −17 5
1 −3 0
0 1 0
0 0 1
L 1
L 1 + L 3
L 2
L 2 −
2
5
L 3
−2 −17 5
1
7
−2
−3 −17 5
1 0 0
0 1 0
0 0 1
L 1
L 1 + 3L 2
1
4
−1
1
7
−2
−3 −17 5
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
309
Chapitre 14 • Matrices
−→
−→
−→
−→
−→
−→
−→
−→
9782100547678-Fresl-C14.qxd 5/07/10 9:00 Page 309
Soit la matrice
A =
1 −3 −1
1 2
1
4 5
3
.
Montrer que la matrice A est inversible et calculer son inverse.
Cet exercice se résout classiquement en utilisant la méthode du pivot de Gauβ. On
effectue des opérations élémentaires sur les lignes de A de façon à la transformer en
une matrice triangulaire supérieure. La matrice est alors diagonalisable si, et seulement si, aucun des coefficients diagonaux de la matrice triangulaire n’est nul.
Pour calculer l’inverse, on effectue des opérations élémentaires sur les lignes de la matrice
triangulaire de façon à la transformer en la matrice I 3 . Si l’on effectue sur la matrice I 3 les
opérations qui nous ont permis de passer de A à I 3 , on aboutit à la matrice A −1 .
Dans la présentation que nous adoptons, nous effectuons les opérations sur la matrice I 3 en
même temps que nous les effectuons sur la matrice A.
Effectuons des opérations élémentaires sur les lignes de A.
1 −3 −1
1 2
1
4 5
3
1 0 0
0 1 0
0 0 1
1 −3 −1
0 5
2
0 17 7
L 2
L 2 − L 1
L 3
L 3 − 4L 1
1 0 0
−1 1 0
−4 0 1
1 −3 −1
0 5
2
0 0
1
5
L 3
L 3 −
17
5
L 2
1
0
0
−1
1
0
−
3
5
−
17
5
1
À ce stade du raisonnement, nous pouvons affirmer que la matrice A est inversible.
1 −3 −1
0 1
2
5
0 0
1
L 2
1
5
L 2
L 3
5L 3
1
0
0
−
1
5
1
5
0
−3 −17 5
1 −3 0
0 1 0
0 0 1
L 1
L 1 + L 3
L 2
L 2 −
2
5
L 3
−2 −17 5
1
7
−2
−3 −17 5
1 0 0
0 1 0
0 0 1
L 1
L 1 + 3L 2
1
4
−1
1
7
−2
−3 −17 5
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
309
Chapitre 14 • Matrices
−→
−→
−→
−→
−→
−→
−→
−→
9782100547678-Fresl-C14.qxd 5/07/10 9:00 Page 309