1
n
p
i=0
p
i
n i − 1
=
1
n
p
i=0
p
i
n i 1 p−i − 1
=
1
n
((n + 1) p − 1) .
Il n’est pas utile de préciser autant le calcul dans la rédaction.
Calculons encore
p
i=1
p
i
n
i−1
=
1
n
p
i=0
p
i
n
i
− 1
=
(n + 1) p − 1
n
.
On en déduit que, quel que soit p ∈ N, on a
B
p
= I n +
(n + 1) p − 1
n
A.
3. Pour conserver la symétrie du problème, il est raisonnable de chercher un inverse
ayant une forme semblable à celle de la matrice B : les coefficients de la diagonale
sont tous identiques et les coefficients hors de la diagonale sont tous identiques.
Autrement dit, nous allons chercher un inverse sous la forme a I n + b A, avec
a,b ∈ R.
Quelles conditions faut-il imposer sur a et b ? On a
B (a I n + b A) = (I n + A) (a I n + b A)
= a I n + (a + b) A + b A 2
= a I n + (a + (n + 1)b) A
La matrice a I n + b A sera l’inverse de A si l’on impose a = 1 et
a + (n + 1)b = 0, autrement dit, b = −1/(n + 1).
Vérifions que la matrice
C = I n −
1
n + 1
A
est l’inverse de la matrice B. On a
B C = (I n + A) (I n −
1
n + 1
A)
= I n +
n
n + 1
A −
1
n + 1
A 2
= I n ,
car A 2 = n A.
308
Partie 3 • Algèbre
9782100547678-Fresl-C14.qxd 5/07/10 8:59 Page 308