On a alors
(R + S)
2
=
4 2
0 0
,
mais
R
2
+ 2RS + S
2
=
4 3
0 0
.
Remarquons que l’on a B = I n + A et que les matrices I n et A commutent.
Nous pouvons donc appliquer la formule du binôme de Newton : quel que soit
p ∈ N, on a
B
p
=
p
i=0
p
i
A
i
= I n +
p
i=1
p
i
n
i−1
A.
Il nous reste à calculer la somme
p
i=1
p
i
n i−1 . Elle ressemble aux sommes que l’on
obtient par la formule du binôme de Newton. Il y a cependant trois différences : les
exposants qui interviennent sont du type i − 1 au lieu de i, la somme n’est pas
complète, puisqu’elle commence à 1 au lieu de 0, et des puissances d’un seul élément, au lieu de deux, interviennent. Pour modifier les exposants, il suffit de multiplier et diviser la somme par n :
p
i=1
p
i
n
i−1
=
1
n
n
p
i=1
p
i
n
i−1
=
1
n
p
i=1
p
i
n
i
.
Pour rendre la somme complète, il suffit d’ajouter et soustraire le terme manquant :
1
n
p
i=1
p
i
n
i
=
1
n
p
i=1
p
i
n
i
+
n
0
n
0
−
n
0
n
0
=
1
n
p
i=0
p
i
n
i
− 1
.
Pour faire apparaître un deuxième élément dont on prend les puissances, il suffit de
rajouter des 1 p−i :
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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Chapitre 14 • Matrices
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