1. Pour traiter ce genre d’exercices, il est bon de commencer par calculer les premières puissances. On essaie ensuite de deviner une formule, puis de la démontrer
par récurrence. Dans notre cas, nous avons
A =


1 . . . 1
. . .
. . .
1 . . . 1

 ,
et donc
A
2
=


n . . . n
. . .
. . .
n . . . n

 = n A,
A
3
=


n 2 . . . n 2
. . .
. . .
n 2 . . . n 2

 = n
2 A.
Il est naturel de chercher à démontrer que, quel que soit p ∈ N, on a A p = n p−1 A.
Montrons par récurrence que, quel que soit p ∈ N ∗ , on a A p = n p−1 A.
L’initialisation pour p = 1 est évidente.
Soit p ∈ N ∗ tel que A p = n p−1 A. Alors
A
p+1
= A
p A = n
p−1 A
2
= n
p−1 n A = n
p A.
Nous avons montré que quel que soit p ∈ N ∗ , on a A p = n p−1 A.
2. Remarquons que l’on a B = I n + A. Nous devons donc calculer les puissances
d’une somme de deux matrices. Lorsque les deux matrices en question commutent,
on peut appliquer la formule du binôme de Newton : si R et S sont deux matrices
de M n (R) qui commutent, alors, quel que soit p ∈ N, on a
(R + S)
p
=
p
i=0
p
i
R
i S
p−i
.
Cette formule n’est pas valable si les matrices ne commutent pas. Considérons, par
exemple, les matrices
R =
1 0
0 0
et S =
1 1
0 0
.
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Partie 3 • Algèbre
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